Asal Mula Bilangan Nol, Bilangan Prima dan Aljabar Matematika

Asal Mula Bilangan Nol, Bilangan Prima dan Aljabar Matematika

Matematika merupakan disiplin ilmu yang mempunyai sifat yang khas jika dibandingkan dengan disiplin ilmu yang lain. Matematika berkaitan dengan konsep-konsep abstrak yang tersusun secara hierarkis dan penalarannya deduktif. Banyak sekali keajaiban dan keunikan yang terdapat dalam matematika, yang dapat memicu kreativitas dan kecerdasan, contohnya saja dalam teta-teki matematika/permainan matematika.
Matematika juga memiliki sejarah. Sejarah matematika merupakan peyelidikan terhadap asal mula penemuan yang terdapat dalam bidang matematika dan sedikit perluasannya, penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika pada masa lalu. Sebelum zaman modern seperti sekarang, perkembangan matematika mengalami puncaknya hanya di beberapa tempat saja. Tulisan matematika tertua yang ditemukan adalah Plimpton 322 (matematika Babilonia  sekitar 1900 SM), Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir sekitar 2000-1800 SM) dan Lembaran Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890 SM). Semua tulisan tersebut berisi tentang teorema Pythagoras, yang menjadi pengembangan matematika tertua yang paling tersebar luas setelah aritmatika dasar dan geometri.
Selain sejarah matematika itu sendiri, terdapat juga sejarah bidang-bidang yang ada dalam matematika termasuk sistem bilangannya. Misalnya, seperti sejarah aljabar matematika, sejarah bilangan nol, sejarah bilangan prima, dan sebagainya. Berikut akan dibahas mengenai sejarah dan perkembangan bidang-bidang matematika tersebut.
Pertama, kita akan membahas tentang Sejarah Bilangan Nol dan Penemunya
Dalam matematika modern seperti sekarang, nol sebagai bilangan sudah menjadi hal yang biasa. Namun, nol tidak ditemukan dalam sistem bilangan yang paling kuno. Pada masa Yunani dan Romawi Kuno nol bukan merupakan konsep dalam sistem perhitungan. Bahkan sampai abad pertengahan, nol belum masuk pada sistem perhitungan Eropa.
Angka nol ditemukan sekurang-kurangnya 3 kali secara terpisah. Saat itu, kegunaannya adalah sebagai pengisi kedudukan dalam sistem perhitungan.
Pada awalnya, bangsa Babilonia tidak memiliki simbol untuk nol karena ruang kosong antara bilangan-bilangan dianggap cukup sebagai pembatas. Tetapi, ruang kosong tersebut dapat dengan mudah terabaikan atau disalahtafsirkan sehingga mereka membuat simbol untuk nol untuk yang pertama kali. Bentuknya sedikit menyerupai dengan nol sekarang. Namun, peradaban Babilonia mengalami kemunduran, begitu juga dengan nol.
Bangsa Yunani Kuno memiliki sistem bilangan yang lebih rumit dibanding bangsa Babilonia. Namun, mereka tidak mempunyai simbol untuk nol dalam sistem bilangannya. Justru nol cenderung menimbulkan masalah bagi bangsa Yunani.
Konsep bilangan nol dan sifat-sifatnya terus berkembang. Hingga pada abad ke-7, Brahmagupta, seorang matematikawan India memperkenalkan beberapa sifat bilangan nol, seperti suatu bilangan jika dijumlahkan dengan nol akan menghasilkan bilangan itu sendiri, demikian pula jika sebuah bilangan dikalikan dengan nol hasilnya adalah nol. Namun, Brahmagupta mengalami kesulitan dan cenderung ke arah yang salah ketika berhadapan dengan pembagian oleh nol. Dia menyatakan bahwa ‘sebuah bilangan jika dibagi oleh nol adalah tetap’.
Kesalahan ini kemudian diperbaiki oeh Bhaskara dalam bukunya ‘Leelavati’ yang menyatakan bahwa ‘pembagian sebuah bilangan oleh nol adalah jumlah yang tak terhingga’.
Dalam suku Indian Kuno, nol disimbolkan dengan sebuah lingkaran dengan titik di dalamnya. Nol berasal dari bahasa Sansekerta ‘soonya’ yang berarti tidak ada atau kosong.
Al-Khwarizmi, seorang matematikawan muslim dari Arab kemudian meneliti sistem perhitungan Hindu (India). Dia menulis dalam bukunya Hisab Al-Jabr wa Al-Muqabala Khowarizmi, ‘soonya’ sebagai ‘al-sifr’ atau ‘sifr’ dan membuat angka-angka India populer. Al-Khwarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh. Sistem ini disebut sistem bilangan desimal. Selain itu, Al-Khwarizmi juga merupakan penulis kitab aljabar yang pertama. Karyanya adalah Kitab Al-Jabr Wal Muqabalah, dimana istilah aljabar pertama kali muncul dalam konteks disiplin ilmu.
Gudang Ilmu Pengetahuan yang kita ketahui berasal dari kawasan Eropa. Namun, sejatinya Gudang Ilmu Pengetahuan berasal dari kawasan Timur Tengah, yaitu Mesopotamia yang menjadi peradaban tertua di dunia.
Masyarakat dunia sangat mengenal Leonardo Fibonacci sebagai ahli matematika aljabar. Namun, dibalik kedigdayaan Leonardo Fibonacci sebagai ahli matematika aljabar ternyata hasil pemikirannya sangat dipengaruhi oleh matematikawan Muslim, Muhammad bin Musa Al-Khwarizmi. Dia adalah seorang tokoh yang dilahirkan di Khiva (Iraq) pada tahun 780 M. Dia kemudian menetap di Qutrubulli, Baghdad. Selain ahli dalam matematika, Al-Khwarizmi juga seorang ahli geografi, sejarah dan juga seorang seniman. Karyanya dalam bidang matematika dimaktub dalam Kitabul Jama wat Tafriq dan Hisab Al-Jabar wal Muqabla. Al-Khwarizmi inilah yang menemukan angka nol yang digunakan sampai saat ini.
Al-Khwarimi juga seorang ahli ilmu murni. Karyanya, Kitab Surat Al-Ard menggambarkan secara detail bagian-bagian bumi. CA Nallino, seorang penterjemah karya Al-Khwarizmi dalam bahasa Latin menegaskan bahwa tak ada seorang Eropa pun yang dapat menghasilkan karya seperti Al-Khwarizmi.
Al-Khwarizmi meninggal pada tahun 262 H/846 M di Baghdad. Setelah meninggal, keberadaan karyanya beralih pada komunitas Islam, yaitu bagaimana cara menjabarkan bilangan dalam sebuah metode perhitungan, termasuk dalam bilangan pecahan. Di dunia Barat, Ilmu Matematika lebih banyak dipengaruhi oleh Karya Al-Khwarizmi dibanding karya para penulis Eropa pada abad pertengahan.
Selanjutnya, kita akan membahas mengenai Sejarah dan Perkembangan Bilangan Prima.
Dalam sejarah awal perkembangannya, pengertian bilangan prima adalah bagian dari himpunan bilangan bulat positif lebih dari 1 dan hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Jika definisinya diperluas menjadi himpunan bilangan bulat, maka dikenal bilangan prima negatif dan bilangan prima positif. Bilangan-bilangan selain bilangan prima disebut bilangan komposit. Cara yang paling sederhana untuk menentukan bilangan prima dalam suatu rentang tertentu adalah dengan menggunakan Sieve of Erastosthenes (Saringan Erastothenes). Bilangan prima dapat disebut sebagai batu pembangun bilangan bulat positif seperti yang sudah dibuktukan dalam Teorema Fundamental Aritmetik.
Dalam beberapa usaha penemuan yang bertujuan mengkaji hubungan antar bilangan prima, dikenal pula bilangan prima kembar (twin primes) yang merupakan pasangan bilangan prima yang memenuhi kaidah p dan p+2 dengan p adalah bilangan prima. Sebagai contoh, 3 dan 5, 11 dan 13, 29 dan 31.
Sejarah bilangan prima dimulai pada zaman Mesir Kuno dengan ditemukannya sebuah catatan yang menyatakan penggunaan bilangan prima pada zaman tersebut. Namun, bilangan prima dan komposit pada saat itu berbeda dengan bilangan prima dan komposit yang kita kenal sekarang. Bukti lain permulaan sejarah bilangan prima adalah sebuah catatan penelitian bilangan prima oleh bangsa Yunani Kuno.
Dalam sejarah Yunani Kuno, Pythagoras (570 SM-500 SM) terkenal melalui ‘Theorem of Pythagoras’ dan memunculkan Pythagorean Triples yang sebenarnya sudah ada sejak 1000 tahun sebelum masa Pythagoras. Sebelumnya, bangsa Babilonia telah mengenal Pythagorean Triples tersebut dengan nama Babylonian triples. Babylonian Triples terdapat dalam Plimpton 322 yang diperkirakan berasal dari tahun 1900 SM. Terdapat perbedaan antara Pythagorean Triples dengan Babylonian Triples. Pada Babylonian Triples disyaratkan bahwa u dan v sebagai generator 2uv, u²-v² dan u²+v² yang merupakan ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku, harus relatif prima dan tidak mempunyai faktor prima selain 2, 3 atau 5. Sebagai contoh, 56, 90 dan 106 adalah Babylonian Triples karena u=9 dan v=5. Contoh lain, 28, 45 dan 53 adalah Pythagorean Triples, tetapi bukan Babylonian Triples karena u=7 dan u memiliki faktor prima 7.
Bilangan prima dalam Rumusan Bilangan Sempurna terdapat pada karya Euclid dalam buku IX Elements (300 SM) yang berisi beberapa teorema penting mengenai bilangan prima, termasuk ketakberhinggaan bilangan prima dan teorema fundamental aritmatik. Euclid juga memperlihatkan cara menyusun sebuah bilangan sempurna (perfect number) dari sebuah bilangan prima Mersenne yang ditemukan kemudian. Bilangan prima Mersenne adalah sebuah bilangan prima dengan rumus M_n=2ⁿ-1. Dalam karya Euclid tersebut, terdapat proporsi bahwa ‘jika 2n-1 adalah bilangan prima maka (2n-1)+(2n-1) adalah bilangan sempurna. Pada masa itu, bangsa Yunani telah menemukan 4 bilangan sempurna, yaitu 6, 28, 496 dan 8128. Berkaitan dengan bilangan sempurna, sekitar 2000 tahun kemudian seorang matematikawan, Euler pada tahun 1947 telah mampu menunjukkan bahwa semua bilangan sempurna adalah genap. Hal ini disebut Konjektur Goldbach. Dalam Konjektur Goldbach, berbunyi ‘setiap bilangan bulat genap lebih besar dari atau sama dengan 4 dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima’. Konjektur Goldbach adalah salah satu persoalan yang belum terpecahkan dalam teori angka dan bahkan dalam matematika secara keseluruhan. Konjektur Goldbach pertama kali disebut oleh Christian Goldbach dalam suratnya kepada Euler pada tahun 1942. Dalam suratnya, Goldbach mengemukakan bahwa bilangan genap lebih dari atau sama dengan 4 dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan dua bilangan prima, tetapi dia tidak berhasil membuktikan kebenarannya.
Pada teorema ke-20 dari buku IX The Elements Euclide menyatakan bahwa ‘tidak ada bilangan prima yang terakhir’. Pernyataan ini menunjukkan ketakberhinggaan bilangan prima yang dibuktikan Euclid dengan menggunakan cara pembuktian kontradiksi, yang merupakan pertama kali dalam sejarah matematika. Selain itu, Euclid juga memberikan bukti Teorema Fundamental Aritmetika, yaitu ‘setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai hasil kali bilanngan-bilangan prima dalam sebuah bentuk dasar yang unik’.
Bukti selanjutnya adalah Sieve of Eratosthenes (Saringan Eratosthenes), yaitu cara untuk menentukan bilangan prima dalam suatu rentang tertentu. Saringan ini ditemukan oleh Eratosthenes, seorang ilmuan Yunani Kuno. Eratosthenes lahir di Cyrene (Libya), tetapi bekerja dan meninggal di Alexandria. Dia tidak pernah menikah dan dikenal sombong. Dia belajar di Alexandria dan untuk beberapa tahun di Athena. Pada 236 SM, ia ditunjuk oleh Ptolemy III Euergetes I sebagai pustakawan Perpustakaan Alexandria, menggantikan Zenodotos. Sekitar tahun 255 SM, ia menciptakan bola armilar yang digunakan secara luas hingga diciptakannya oreri pada abad 18. Pada 195 SM, ia mengalami kebutaan dan selama setahun membiarkan dirinya kelaparan hingga meninggal. Ia dicatat oleh Cleomedes dalam On the Circular Motions of the Celestial Bodies sebagai orang yang telah menghitung keliling Bumi pada tahun 240 SM, menggunakan metode trigonometri dan pengetahuan mengenai sudut kemiringan Matahari saat tengah hari di Alexandria dan Syene (Aswan, Mesir).
Saringan Eratosthenes merupakan cara paling sederhana dan paling cepat untuk menemukan bilangan prima sebelum ditemukan Saringan Atkin pada tahun 2004. Saringan Atkin merupakan cara yang lebih cepat, namun lebih rumit dibandingkan dengan Saringan Eratosthenes. Misalkan kita akan menentukan semua bilangan prima antara 1 sampai n menggunakan Saringan Eratosthenes, langkah-langkahnya adalah
1.       Tulis semua bilangan antara 1 sampai n, sebut daftar A.
2.       Buat daftar yang masih kosong, misal daftar B.
3.       Coret bilangan 1 dari daftar A.
4.       Tulis 2 pada daftar B, lalu coret 2 dan semua kelipatannya dari daftar A.
5.       Bilangan pertama yang belum dicoret dari daftar A (misalnya 3) adalah bilangan prima. Tulis di daftar B, lalu coret bilangan ini dan semua kelipatannya.
6.       Ulangi langkah 4 sampai semua bilangan di daftar A tercoret.
7.       Semua bilangan di daftar B adalah bilangan prima. kembali setelah berabad-abad berhenti.
Pada tahun 1640, Pieere de Fermat berhasil membuat Teorema Kecil fermat (Fermat’s Little Theorem) yang kemudian dibuktikan oleh Leibniz.
Pada abad XVII, penelitian terhadap bilangan prima dilanjutkan Euler. Lama setelah itu, Euler menemukan kekurangan pada teorema ini. Seorang matematikawan Perancis, Marin Mersenne (1588-1648) kemudian membuat suatu bentuk baru dari bilangan prima yang diberi nama bilangan prima Mersenne (Mersenne Prime). Cara penentuannya pun belum sempurna karena diantaranya terdapat beberapa prima semu.
Sampai abad XIX, masih banyak matematikawan yang beranggapan bahwa 1 adalah bilangan prima, dari definisi bilangan prima adalah bilangan yang habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri tanpa membatasi jumlah pembagi. Pada abad XIX, Legendre dan Gauss membuat sebuah konjektural untuk menghitung banyaknya bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan suatu bilangan dan dibuktikan pada tahun 1896 dan berganti nama menjadi Teorema Bilangan Prima (Prime Number Theorem). Sebelumnya pada tahun 1859, Riemann juga mencoba membuktikan konjektural tersebut menggunakan fungsi zeta.
Pencarian bilangan prima terus berlanjut. Banyak matematikawan yang meneliti tentang tes bilangan prima. Sebagai contoh, Pepin’s test untuk bilangan Fermat (1877), Lucas-Lehmer test untuk bilangan Mersenne (1856), dan Lucas-Lehmer test yang digeneralisasikan.
Pada abad XX, penggunaan bilangan prima di luar bidang matematika mulai dikembangkan. Pada era 1970-an, ketika konsep kriptografi ditemukan, bilangan prima menjadi salah satu dasar pembuatan kunci algoritma enkripsi seperti RSA.
Banyaknya bilangan prima tak terhingga, berapa pun banyaknya kita menghitung, pasti akan menemukan bilangan prima. Hal ini menjadi teka-teki, jika mengingat bilangan prima tidak dapat dibagi oleh bilangan lainnya. Salah satu hal yang menakjubkan adalah dalam era komputer, kita memberikan kodetifikasi untuk semua hal yang penting dan rahasia dalam angka jutaan bilangan-bilangan yang tidak habis dibagi oleh angka lainnya. Ini diperlukan karena dengan penggunaan angka lain, kodetifikasi tadi dapat dengan mudah ditembus.
Fenomena inilah yang ditemukan oleh ilmuan dari Duesseldorf (Dr. Plichta), sehubungan dengan penciptaan alam, yaitu distribusi misterius bilangan prima. Para ilmuan sudah lama percaya bahwa bilangan prima adalah bahasa universal yang dapat dimengerti oleh semua makhluk sebagai komunikasi dasar. Bahasa ini penuh misteri karena berhubungan dengan perencanaan universal kosmos.
Dan yang terakhir, kita akan membahas tentang Sejarah dan Perkembangan Aljabar Matematika.
Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari aljabar, digunakan simbol untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah.
Aljabar sudah digunakan matematikawan sejak ribuan tahun yang lalu. Asal mula aljabar dapat ditelusuri dari Babilonia Kuno yang mengembangkan sistem matematika yang cukup rumit. Mereka sudah dapat mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tidak diketahui dengan menggunakan persamaan linier, persamaan kuadrat dan persamaan linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina masih menggunakan metode geometri untuk memecahkan persamaan, misalnya seperti yang terdapat dalam “The Rhind Mathematical Papyrus”, “Sulba Sutras”, “Euclid’s Elements” dan “The Nine Chapters on the Mathematical Art”. Orang-orang Mesir menggunakan kata ‘heap’ untuk mewakili bilangan yang tidak diketahui.
Sekitar tahun 300 SM, seorang sarjana Yunani Kuno, Euclid menulis buku yang berjudul ‘Elements’. Dalam buku ini, terdapat rumus aljabar yang dikembangkan dengan mempelajari bentuk-bentuk geometris. Orang-orang Yunani Kuno biasanya menuliskan permasalahan secara lengkap jika permasalahan tidak dapat dipecahkan dengan metode geometri. Cara ini disebut ‘aljabar retoris’ yang membatasi kemampuan mereka untuk memecahkan masalah yang mendetail.
Seiring perkembangan zaman, pada abad ke-3, Diophantus of Alexandria (250 M) menulis buku berjudul Aritmatika, yang menggunakan simbol-simbol untuk bilangan yang tidak diketahui dan untuk operasi seperti penjumlahan dan pengurangan. Sistemnya tidak sepenuhnya dalam bentuk simbol, tetapi berada diantara sistem Euclid dan apa yang digunakan sekarang. Hal ini dikenal dengan ‘aljabar sinkopasi’.
Ketika agama Islam mulai muncul pada abad ke-6, terjadi perang antar agama untuk menundukkan daerah Yahudi, Khatolik dan Nasrani mulai gencar dilakukan oleh umat muslim. Sehingga pada tahun 641 M, bangsa Arab berhasil menguasai Alexandria dan menutup sekolah Yunani Kuno terakhir. Namun, ide-ide bangsa Yunani tetap dipertahankan bahkan dikembangkan, dan kemudian dibawa ke Eropa Barat setelah menduduki Spanyol pada tahun 747 M.
Bangsa Arab pertama kali menemukan ide-ide ketika bertemu dengan dokter-dokter Yunani yang bekerja di Arab. Dua orang sarjana yang terkenal adalah Brahmagupta (598-660) dan Aryabhata (475-550). Brahmagupta adalah seorang astronom yang banyak menemukan ciri-ciri untuk luas dan volume benda padat. Sedangkan Aryabhata adalah seorang ilmuan yang menciptakan tabel sinus (rasio-rasio istimewa) dan mengembangkan sebuah bentuk aljabar sinkopasi seperti sistem yang dibuat Diophantus.
Lambat laun, bangsa Arab mulai mengenal teori yang dimiliki negara jajahan tersebut. Mereka mulai mengembangkannya dengan cara mereka sendiri. Kemudian munculah tokoh yang menemukan teori aljabar, Al-Khwarizmi (780-850), seorang muslim keturunan Usbekistan yang lahir pada tahun 780 M/194 H. Al-Khwarizki merupakan seorang tokoh islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan kemahirannya tidak hanya di bidang syariat, tetapi juga dalam bidang falsafah, logika, aritmetik, geometri, musik, sastra, sejarah islam dan ilmu kimia. Sekitar tahun 830 M, ia menulis tiga buku tentang matematika. Bukunya yang paling terkenal berjudul “Hisab al-Jabr wa’l Muqabalah” (perhitungan dengan restorasi dan reduksi). Restorasi maksudnya menyederhanakan sebuah rumus dengan menggunakan operasi yang sama di kedua sisinya. Sedangkan reduksi berarti mengkombinasikan bagian-bagian yang berbeda dari sebuah rumus dan kemudian menyederhanakannya. Al-Khwarizmi juga menciptakan pemakaian Secans dan Tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda, ia telah bekerja di bawah pamerintahan Kehalifah al-Ma’mun, daerah Bayt al-Hikmah di Baghdad. Al-Khwarizmi bekerja dalam sebuah observatory. Al-Khwarizmi juga dipercaya memimpin perpustakaan khalifah.
Sebelum karya Al-Khwarizmi yang berjudul “Hisab al-Jabr wa’l Muqabalah” muncul, kata aljabar tidak pernah digunakan. Istilah ‘Aljabar’ berasal dari bahasa arab ‘al-jabr’ yang berasal dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing) yang ditulis oleh Al-Khwarizmi. kata ‘Al-Jabr sendiri sebenarnya berarti penggabungan. Bahkan jika dilihat dari sejarahnya, matematikawan Yunani pada zaman Hellenisme, Diophantus, secara tradisional telah mengenal konsep aljabar, hanya saja mereka tidak menggunakan istilah tersebut untuk teori yang mereka miliki.
Seperti halnya Al-Khwarizmi, Diophantus juga dikenal sebagai ‘Bapak Aljabar’ walaupun sampai sekarang masih diperdebatkan siapa yang berhak atas gelar tersebut. Pendukung Al-Khwarizmi menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih digunakan sampai sekarang, dan ia juga memberikan penjelasan yang rinci mengenai penyelesaian persamaan kuadratik. Sedangkan pendukung Diophantus menunjukkan Aljabar yang ditemukan dalam Al-Jabr adalah masih sangat dasar dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam ‘Arithmetica’, karya Diophantus. Matematikawan Persia lain, Omar Khayyam membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik. Matematikawan India Mahavira dan Bhaskara, serta matematikawan Cima, Zhu Shiie juga berhasil memecahkan berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat tinggi lainnya.
Peristiwa penting lain adalah perkembangan lebih lanjut dari aljabar yang terjadi pada abad ke-16. Ide tentang determinan yang dikembangkan oleh matematikawan Jepang, Kowa Seki di abad ke-17, diikuti oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, untuk memecahkan Sistem Persamaan Linier secara simultan menggunakan matriks. Gabriel Cramer juga menyumbangkan hasil karyanya tentang Matriks dan Determinan pada abad ke-18. Aljabar Abstrak dikembangkan pada abad ke-19, mula-mula berfokus pada teori Galois dan pada masalah keterkonstruksian.
Aljabar kemudian diklasifikasikan menjadi beberapa kategori, yaitu :
1.       Aljabar Elemanter, aljabar yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan riil dengan simbol sebagi konstanta dan variabel, dan aturan yang membangun ekspresi dan persamaan matematika yang melibatkan simol-simbol.
2.       Aljabar Abstrak (Aljabar Modern), aljabar yang mempelajari struktur Aljabar yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis.
3.       Aljabat Linie, aljabar yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor.
4.       Aljabar Universal, aljabar yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua struktur